دانشگاه صنعتی امیرکبیر نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر 2008-6032 42 1 2010 08 23 Asymptotic Analysis of the Free Vibration of a Cantilever Beam with a Fatigue Crack آنالیز مجانبی ارتعاشات آزاد تیر یکسرگیردار با یک ترک خستگی 55 66 79 10.22060/mej.2010.79 FA موسی رضائی نویسنده مسئول و استادیار دانشکده مهندسی مکانیک دانشگاه تبریز رضا حسن نژاد دانشجوی دکتری دانشکده مهندسی مکانیک دانشگاه تبریز Journal Article 2014 03 15 In this paper the free vibration of a cantilever beam containing a breathing crack is investigated. Generally, the researchers have applied numerical methods to study the vibrational behavior of a cracked beam. In this research the governing equation of the motion for free vibration of the cracked beam is derived, and by applying suitable modifications and variable changes is expressed as the multiplication of a decaying exponential function by the Mathieu equation. By analyzing the parameters of the governing equation, this equation is solved by employing perturbation method. Presented method makes it possible to estimate damping characteristic of the system. The result shows that the system damping depends on the crack parameters, geometric dimensions, mechanical properties of the beam, and an increase in the crack depth results in an increase in the system damping. In order to validate the results, a comparison is made between the response of the cracked beam with a given crack depth and location obtained by the proposed analytical solution and that of the numerical method. Also, changes in fundamental frequency ratios versus crack severities are compared with those of the experimental results available in the literature. The obtained results from the proposed method agree well with the experimental results presented in the literature. در این تحقیق، ارتعاشات تیر یکسرگیردار ترک‌دار مورد مطالعه قرار گرفته است. ترک به صورت ترک خستگی و با رفتار باز و بسته شدن[i] مدل شده است. در تحقیقات  انجام شده در این زمینه, برای حل معادلات حاکم بر تیر ترک‌دار بیشتر از روش های عددی استفاده شده است. در تحقیق حاضر پس از استخراج معادله حاکم بر تیر یکسر گیردار ترک‌دار با عملیات ریاضی و اعمال تغییر متغیر مناسبی معادله حاکم به صورت حاصلضرب یک تابع نمایی نزولی در معادله ماتیو[ii] تبدیل شده است. با بررسی دقیق پارامترها و استفاده از تئوری اغتشاشات[iii] معادله مورد نظر حل شده و رفتار ارتعاشی تیر ترک دار به ازای مقادیر مختلف عمق نسبی و موقعیت نسبی ترک مورد مطالعه قرار گرفته است. با استفاده از روش بکار رفته می‌توان میرائی تیر در اثر وجود ترک را نیز تعیین کرد. نتایج حاصل نشان می‌دهد که میرائی مورد بحث به پارامترهای ترک و مشخصات هندسی و مکانیکی تیر بستگی دارد و با افزایش عمق ترک، نسبت میرائی افزایش می‌یابد. برای ارزیابی درستی نتایج, درآغاز مقایسه‌ای بین پاسخ تحلیلی ارائه شده برای سیستم به ازای موقعیت و عمق نسبی مشخصی از ترک با نتایج حاصل از حل عددی انجام شده است. سپس، تغییرات نسبت فرکانسی تیر ترک‌دار به ازای شدت‌های مختلف ترک با نتایج تجربی  ارائه شده در ادبیات فن, مقایسه ‌شده است. <br /> <br /> <br />1 Breathing Crack <br /> <br /> <br />2 Mathieu Equation <br /> <br /> <br />3 Perturbation Theory https://mej.aut.ac.ir/article_79_ba77679abf671d5913b372d658a56c5f.pdf