مقایسه روش‌های ضرورتاً غیرنوسانی وزن‌دار در پیمایش زمانی بلند مدت برای معادله موج

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

دانشکده علوم مهندسی دانشکدگان فنی، دانشگاه تهران، تهران، ایران.

چکیده

روش‌های ضرورتاً غیرنوسانی وزن‌دار از موفق‌ترین روش‌ها در حل عددی مسائل شامل ناپیوستگی‌ها هستند. از آنجا که دقت این روش‌ها وابسته به وزن‌های‌شان است، روش‌های مختلفی جهت بهبود وزن‌ها ارائه شده است. برخی آزمایش‌های عددی نشان می‌دهد که بهبودهای معرفی شده دارای مشکلاتی هستند. با این حال معیار مناسبی برای اینکه کدام یک از این بهبودها نسبت به سایرین برتری دارد، وجود ندارد. در این پژوهش زاویه جدیدی برای بررسی عملکرد روش‌های ضرورتاً غیرنوسانی وزن‌دار معرفی می‌کنیم که آن عملکرد روش‌ها در انتگرال‌گیری زمانی طولانی مدت است. این بررسی می‌تواند تاب آوری روش را در حفظ حداکثر دقت مشخص نماید. مسأله‌ای که در کوتاه مدت قابل شناسایی نیست. چندین روش مختلف که برای بهبود وزن‌ها در مقالات ارائه شده‌اند برای این بررسی در نظر گرفته و هر یک از آنها برای روش‌های مرتبه پنجم، هفتم و نهم آزموده می‌شوند. در ابتدا برای انتگرال‌گیری زمانی از دو روش رونگه-کوتای مرتبه سوم و چهارم استفاده می‌گردد. نتایج نشان می‌دهد که استفاده از روش‌های رونگه-کوتای مرتبه سوم و مرتبه چهارم تفاوت بسیار ناچیزی در نتایج حتی در طولانی مدت دارد. اما افزایش مرتبه دقت مکانی، تأثیر چشمگیری بر دقت نتایج حاصل دارد. همچنین مشاهده می‌شود پارامترهایی که در کوتاه مدت نقش آنها بسیار ناچیز است، در طولانی مدت اثر چشمگیری بر دقت نتایج دارند و انتخاب مقدار مناسب برای آنها جهت به دست آوردن نتایج دقیق ضروری است.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

عنوان مقاله [English]

Comparison of Weighted Essentially non-Oscillatory Schemes for Long Time Marching of the Wave Equation

نویسنده [English]

  • Hossein Mahmoodi Darian
School of Engineering Science, College of Engineering, University of Tehran
چکیده [English]

Weighted essentially non-oscillatory schemes are among the most successful methods in numerical solutions to problems involving discontinuities. Since the accuracy of these schemes mostly depends on their weights, various methods have been proposed to improve the weights. Although some numerical experiments show that the introduced improvements have some drawbacks, there is no suitable criterion to show which of them is superior to the others. In this study, we introduce a new way of assessing the performance of weighted essentially non-oscillatory schemes: the schemes' performance in the long-time integration. This assessment can show the endurance of the scheme in preserving its maximum accuracy, which cannot be identified in a short time. Several methods from the literature are considered and is tested for the fifth, seventh, and ninth-order schemes. First, the third- and fourth-order Runge-Kutta schemes are used for the time integration. The results show the third- and fourth-order Runge-Kutta schemes have a very small effect on the results even for long-time integration. In contrast, increasing the order of the spatial accuracy has a significant effect on the accuracy of the results. Furthermore, it can be observed that the parameters that have negligible effects on the results in the short time have considerable effects on the accuracy of the results in the long time, and choosing a proper value for them is crucial to obtain reasonable accurate results.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Improved WENO Schemes
  • Wave Equation
  • Long Time Integration
  • Weights Mapping

مراجع

[1] A. Harten, High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws, Journal of Computational Physics, 49 (1983) 357-393.
[2] P. Colella, P.R. Woodward, The Piecewise Parabolic Method (PPM) for Gas-Dynamical Simulations, Journal of Computational Physics, 54 (1984) 174-201.
[3] E.B.O.S. Harten A, S.R. Chakravarthy, Uniformly High Order Accurate Essentially Non-oscillatory Schemes, III, Journal of Computational Physics, 71 (1987) 231-303.
[4] X.D. Liu, S. Osher, T. Chan, Weighted Essentially Non-oscillatory Schemes, Journal of Computational Physics, 115(1) (1994) 200-212.
[5] G.S. Jiang, C.W. Shu, Efficient implementation of weighted ENO schemes, Journal of Computational Physics, 126(1) (1996) 202-228.
[6] S.C. W, Essentially Non-Oscillatory and Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes for Hyperbolic Conservation Laws, 1997.
[7] A.K. Henrick, T.D. Aslam, J.M. Powers, Mapped weighted essentially non-oscillatory schemes: Achieving optimal order near critical points, Journal of Computational Physics, 207(2) (2005) 542-567.
[8] H. Feng, F. Hu, R. Wang, A New Mapped Weighted Essentially Non-oscillatory Scheme, Journal of Scientific Computing, 51(2) (2012) 449-473.
[9] H. Feng, C. Huang, R. Wang, An improved mapped weighted essentially non-oscillatory scheme, Applied Mathematics and Computation, 232 (2014) 453-468.
[10] R. Wang, H. Feng, C. Huang, A New Mapped Weighted Essentially Non-oscillatory Method Using Rational Mapping Function, Journal of Scientific Computing, 67(2) (2016) 540-580.
[11] V. U S, B. Zang, T.H. New, Adaptive mapping for high order WENO methods, Journal of Computational Physics, 381 (2019) 162-188.
[12] U.S. Vevek, B. Zang, T.H. New, A New Mapped WENO Method for Hyperbolic Problems, Aerospace, 9(10) (2022).
[13] Z. Hong, Z. Ye, X. Meng, A mapping-function-free WENO-M scheme with low computational cost, Journal of Computational Physics, 405 (2020) 109145.
[14] F. Hu, High-order mapped WENO methods with improved efficiency, Computers & Fluids, 219 (2021) 104874.
[15] X. Zhang, C. Yan, F. Qu, An efficient smoothness indicator mapped WENO scheme for hyperbolic conservation laws, Computers & Fluids, 240 (2022) 105421.
[16] S. Tang, M. Li, A novel high efficiency adaptive mapped WENO scheme, Computers & Mathematics with Applications, 124 (2022) 149-162.
[17] R. Li, W. Zhong, A robust and efficient component-wise WENO scheme for Euler equations, Applied Mathematics and Computation, 438 (2023) 127583.
[18] R. Borges, M. Carmona, B. Costa, W.S. Don, An improved weighted essentially non-oscillatory scheme for hyperbolic conservation laws, Journal of Computational Physics, 227(6) (2008) 3191-3211.
[19] M. Castro, B. Costa, W.S. Don, High order weighted essentially non-oscillatory WENO-Z schemes for hyperbolic conservation laws, Journal of Computational Physics, 230(5) (2011) 1766-1792.
[20] F. Acker, R. B. de R. Borges, B. Costa, An improved WENO-Z scheme, Journal of Computational Physics, 313 (2016) 726-753.
[21] X. Luo, S.-p. Wu, An improved WENO-Z+ scheme for solving hyperbolic conservation laws, Journal of Computational Physics, 445 (2021) 110608.
[22] S. Rathan, N.R. Gande, A.A. Bhise, Simple smoothness indicator WENO-Z scheme for hyperbolic conservation laws, Applied Numerical Mathematics, 157 (2020) 255-275.
[23] Y. Wang, B.-S. Wang, W.S. Don, Generalized Sensitivity Parameter Free Fifth Order WENO Finite Difference Scheme with Z-Type Weights, Journal of Scientific Computing, 81(3) (2019) 1329-1358.
[24] A. Kumar, B. Kaur, R. Kumar, A new fifth order finite difference WENO scheme to improve convergence rate at critical points, Wave Motion, 109 (2022) 102859.
[25] S. Tang, M. Li, High-resolution mapping type WENO-Z schemes for solving compressible flow, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 96(6) (2024) 1031-1056.
[26] E. Zauderer, Partial Differential Equations of Applied Mathematics, Wiley, 2006.
[27] R.J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, 1992.
[28] C.-W. Shu, Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws, in: A. Quarteroni (Ed.) Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations: Lectures given at the 2nd Session of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) held in Cetraro, Italy, June 23–28, 1997, Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 1998, pp. 325-432.
[29] S. Gottlieb, D. Ketcheson, C.-W. Shu, Strong Stability Preserving Runge-Kutta and Multistep Time Discretizations, World Scientific, 2011.
نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر
دوره 56، شماره 8
آبان 1403
صفحه 1159-1182

فایل ها

هم رسانی

ارجاع به این مقاله

آمار