تحلیل مسائل دوبعدی با روش اجزای محدود درهم بر پایه پاسخ تحلیلی معادله دیفرانسیل

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 استادیار، گروه عمران، دانشکده مهندسی، دانشگاه آزاد اسلامی، واحد لارستان

2 استادیار، گروه عمران و معماری، دانشکده مهندسی، دانشگاه تربت حیدریه

چکیده

در این مقاله یک جزء مرتبه بالای هشت گرهی برپایه‌ی پاسخ تحلیلی معادله دیفرانسل حاکم، برای تحلیل سازه‌های دوبعدی پیشنهاد می‌گردد. رابطه‌سازی جزء پیشنهادی بر پایه‌ی تابعی درهم هلینگر-رایزنر و پاسخ تحلیلی معادله سازگاری حاکم بر مسئله‌های دوبعدی انجام می‌پذیرد. شایان ذکر است جهت رابطه سازی اجزای محدود با تابعی درهم هلینگر-رایزنر، نیاز به دو میدان مستقل تنش و جابجایی در درون جزء می‌باشد. برای این منظور ابتدا، با حل تحلیلی معادله سازگاری، تابع‌های تنش آیری در دسترس قرار می‌گیرد. با بهره‌جویی از این تابع‌های تنش، میدان تنش درون جزء به دست می‌آید. هم‌چنین،  میدان جابجایی درجه دوم هم‌عامل هشت گرهی برای جابجایی درون جزء به کار می‌رود. با به کاربردن تابعی درهم هلینگر-رایزنر و ایستا کردن آن نسبت به میدان‌های مستقل تنش و جابجایی، ماتریس سختی و بردار نیروهای گرهی جزء در دسترس قرار می‌گیرند. در پایان با آزمون‌های عددی گوناگون، دقت و کارایی جزء پیشنهادی مورد ارزیابی قرار می‌گیرد. این آزمون‌ها دقت بسیار بالای جزء پیشنهادی را در تحلیل سازه‌های دوبعدی به اثبات می‌رسانند.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

عنوان مقاله [English]

Mixed Finite Element Formulation for 2D Problems Analysis Based on Analytical Solutions of Deferential Equation

نویسندگان [English]

  • Mohammad Karkon 1
  • Majid Yaghoobi 2
1 Assistant Professor, Department of Civil Engineering, Faculty of Engineering, Islamic Azad University, Larestan Branch, Iran.
2 Assistant Professor, Civil Engineering and Architectural Department, Faculty of Engineering, University of Torbat Heydarieh, Torbat Heydarieh, Iran.
چکیده [English]

In this paper, a high-order eight-node element based on the analytical response of the governing differential equation is proposed for the analysis of plane structures. The formulation of the proposed element is based on the Hellinger-Reisner mixed functional and the analytical response of the compatibility equation governing plane problems. It is worth noting that in order to formulate finite elements with the Hellinger-Reisner functional, two independent stress and displacement fields are required. For this purpose, Airy stress functions are first made available by the analytical solution of the compatibility equation. By utilizing these stress functions, the stress field within the element is obtained. Also, the quadratic displacement field of the isoparametric element is used for intra-element displacement. By applying the Hellinger-Reisner mixed functional and stationary of this functional relative to the independent stress and displacement fields, the stiffness matrix, and the element node force vector are made available. Finally, with various numerical tests, the accuracy and efficiency of the proposed element are evaluated. These tests prove the high accuracy of the proposed element in the analysis of plane structures.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Finite elements
  • Hellinger-Reisner functional
  • Eight-node element
  • Static analysis
  • Plane problems

مراجع

[1] N.S. Lee, K.J. Bathe, Effects of element distortions on the performance of isoparametric elements, International Journal for numerical Methods in engineering, 36(20) (1993) 3553-3576.
[2] T.H. Pian, State-of-the-art development of hybrid/mixed finite element method, Finite elements in analysis and design, 21(1-2) (1995) 5-20.
[3] C. Felippa, Advanced finite element methods, Institute of Theoretical Physics, Faculty of Mathematics and Physics …, 2000.
[4] T.H. Pian, Derivation of element stiffness matrices by assumed stress distributions, AIAA journal, 2(7) (1964) 1333-1336.
[5] R.L. Spilker, S. Maskeri, E. Kania, Plane isoparametric hybrid‐stress elements: invariance and optimal sampling, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 17(10) (1981) 1469-1496.
[6] T.H. Pian, K. Sumihara, Rational approach for assumed stress finite elements, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 20(9) (1984) 1685-1695.
[7] X.R. Fu, S. Cen, C.F. Li, X.M. Chen, Analytical trial function method for development of new 8‐node plane element based on the variational principle containing Airy stress function, Engineering Computations, 27(4) (2010) 442-463.
[8] S. Cen, M.-J. Zhou, X.-R. Fu, A 4-node hybrid stress-function (HS-F) plane element with drilling degrees of freedom less sensitive to severe mesh distortions, Computers & Structures, 89(5-6) (2011) 517-528.
[9] S. Cen, X.-R. Fu, M.-J. Zhou, 8-and 12-node plane hybrid stress-function elements immune to severely distorted mesh containing elements with concave shapes, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 200(29-32) (2011) 2321-2336.
[10] C. Wang, Y. Wang, C. Yang, X. Zhang, P. Hu, 8-node and 12-node plane elements based on assumed stress quasi-conforming method immune to distorted mesh, Engineering Computations, 34(8) (2017) 2731-2751.
[11] S. Cen, G.H. Zhou, X.R. Fu, A shape‐free 8‐node plane element unsymmetric analytical trial function method, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 91(2) (2012) 158-185.
[12] S. Cen, X. Fu, G. Zhou, M. Zhou, C. Li, Shape-free finite element method: the plane hybrid stress-function (HS-F) element method for anisotropic materials, Science China Physics, Mechanics and Astronomy, 54(4) (2011) 653-665.
[13] Y.-T. Zhao, M.-Z. Wang, Y. Chen, Y. Su, Polynomial stress functions of anisotropic plane problems and their applications in hybrid finite elements, Acta Mechanica, 223(3) (2012) 493-503.
[14] I. Herrera, Boundary methods: an algebraic theory, Pitman Advanced Publishing Program, 1984.
[15] Q.-H. Qin, Trefftz Finite Element Method and Its Applications, Applied Mechanics Reviews, 58(5) (2005) 316-337.
[16] M. Rezaiee-Pajand, M. Karkon, An effective membrane element based on analytical solution, European Journal of Mechanics-A/Solids, 39 (2013) 268-279.
[17] S. Ai-Kah, L. Yuqiu, C. Song, Development of eight-node quadrilateral membrane elements using the area coordinates method, Computational Mechanics, 25(4) (2000) 376-384.
[18] S. Cen, X.-M. Chen, X.-R. Fu, Quadrilateral membrane element family formulated by the quadrilateral area coordinate method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 196(41-44) (2007) 4337-4353.
[19] G. Zhang, J. Xiang, Eight‐node conforming straight‐side quadrilateral element with high‐order completeness (QH8‐C1), International Journal for Numerical Methods in Engineering, 121(15) (2020) 3339-3361.
[20] S. Rajendran, K. Liew, A novel unsymmetric 8‐node plane element immune to mesh distortion under a quadratic displacement field, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 58(11) (2003) 1713-1748.
[21] G. Zhang, M. Wang, Development of eight-node curved-side quadrilateral membrane element using chain direct integration scheme (SCDI) in area coordinates (MHCQ8-DI), Arabian Journal for Science and Engineering, 44(5) (2019) 4703-4724.
[22] L. Yuqiu, X. Yin, Generalized conforming triangular membrane element with vertex rigid rotational freedoms, Finite elements in analysis and design, 17(4) (1994) 259-271.
[23] S.P. Timoshenko, J.N. Goodier, Theory of elasticity,  (1951).
[24] R. Piltner, R. Taylor, A quadrilateral mixed finite element with two enhanced strain modes, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 38(11) (1995) 1783-1808.
نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر
دوره 54، شماره 6
شهریور 1401
صفحه 1443-1458

فایل ها

هم رسانی

ارجاع به این مقاله

آمار